Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле



страница3/44
Дата11.06.2019
Размер9.15 Mb.
ТипЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   44
2. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле.

В законе электромагнитной индукции (ЭМИ) ℇ = -dФ/dt ЭДС можно представить по определению как циркуляцию поля сторонних сил

ℇ = (см. часть 2, лекция №20), в данном случае (ЭМИ) сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами, они также не могут быть магнитными силами, по тому, что такие силы работу над зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем, тогда ЭДС



= Магнитный поток по определению Ф = . Подставляя в закон ЭМИ получим

(30-4)
Это первое уравнение Максвелла.

И

S

нтеграл в правой части берется по произвольной поверхности S, опирающейся на контур (рис. 30.3).



(Поскольку в общем случае может быть

ф



Рис. 30.3
ункцией и координат, то берем частную

производную)

Смысл первого уравнения соответствует

максвелловской трактовке явления ЭМИ, то

есть, изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.



Второе уравнение Максвелла



(30-5)
Это уравнение выражает тот факт, что силовые линии магнитного поля не имеют источника (нет «магнитных зарядов») и всегда замкнуты и, что оно имеет вихревой характер, поток вектора магнитной индукции равен нулю.



Третье уравнение Максвелла




(30-6)



Это обобщенный закон полного тока (см. часть 3, лекция №24), который подчеркивает тот факт, что магнитное поле может создаваться не только токами проводимости ( ), но и перемещенным электрическим полем («ток смещения» ).

Четвертая теорема Максвелла (см. часть 3, лекция №18).




(30-7)
Физически эта теорема подчеркивает тот факт, что электрическое поле может создаваться зарядами, то есть источниками силовых линий электрического поля являются электрические заряды.

Уравнения (30-3,5,6,7) представляют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнения Максвелла подчеркивают тот факт, что электрическое поле может создаваться как зарядами, так и переменным магнитным полем, а магнитное поле может создаваться как токами проводимости, так и переменным электрическим полем. При этом магнитное поле всегда носит вихревой характер, о чем говорит второе уравнение Максвелла. Электрическое поле, создаваемое зарядами и переменным магнитным полем носят различный характер. Силовые линии в первом случае начинаются и кончаются на зарядах (четвертое уравнение Максвелла). А электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем не имеет источников и носит вихревой характер, также как магнитное поле (первое уравнение Максвелла).



В вакууме, где нет зарядов и токов, магнитное поле может создаваться только переменным электрическим полем, а электрическое поле только переменным магнитным полем.

Эту совокупность непрерывно изменяющихся и порождающих друг друга электрического и магнитного полей Максвелл назвал электромагнитным полем.



Кроме четырех рассмотренных уравнений в полную систему уравнений Максвелла входят еще три уравнения, называемых материальными. В них входят характеристики вещества («материи»), такие как диэлектрическая и магнитная проницаемости ℰ и µ, проводимость σ.


ℰℰ



Связь и (лекция №18, часть 3)


μμ



Связь и (лекция №23, часть 3)


σ

Закон Ома в локальной форме (лекция №20, часть 3)



Уравнения Максвелла (30-4) ÷ (30-7) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого используем теоремы Стокса



(30-8)
и Остроградского – Гаусса:




(30-9)
где - некоторый вектор в нашем случае: (О функции rot см. примечание к п.2).

Первое уравнение Максвелла

С другой стороны, используя теорему Стокса, получим



Поскольку равны левые части, равны и правые



откуда следует






(30-10)
Второе уравнение Максвелла



С другой стороны из теоремы Остроградского – Гаусса



п



олучаем (30-11)

Третье уравнение запишем, предварительно выразив токи проводимости через плотность токов проводимости

,

тогда


с другой стороны



получим





(30-12)
Аналогичный подход для четвертого уравнения дает систему уравнений



,

(



в последнем уравнении мы заменили - объемная плотность заряда) из которой следует:

(30-13)


Сведем четыре уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, а также три материальных уравнения в таблицу:

Уравнения Максвелла

Интегральная форма

Дифференциальная форма