Обобщение понятия центр сопротивления зуба



Дата21.05.2016
Размер299 Kb.
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЦЕНТР СОПРОТИВЛЕНИЯ ЗУБА
А.Л. Дубинин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
aspalexey@rambler.ru
Аннотация. Для изучения начального перемещения зуба используется понятие центра сопротивления. Обычно он определяется как точка, приложение силы в которой приводит к поступательному перемещению зуба, а приложение к зубу пары сил приводит к вращению зуба вокруг данного центра сопротивления. Однако центр сопротивления существует лишь при наличии у корня зуба оси симметрии. Для случаев, когда этого центра не существует, авторами предлагается новое понятие – «область сопротивления зуба», являющееся обобщающим для центра сопротивления. Даны определение данной области, исследованы ее свойства, приведены теоретическое и экспериментальное обоснования.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из основных вопросов ортодонтического лечения является определение точки приложения силы и ее направления для перемещения зуба в нужное положение. На данный процесс влияют различные факторы, такие как реакция тканей, окружающих зуб, их индивидуальные механические свойства, сложные физиологические процессы, характеристики аппарата, оказывающего силовое воздействие, особенности его установки и прочее [1]. В данной работе предметом исследования является начальная подвижность зуба при приложении к нему системы сил, развиваемой корректирующим аппаратом.

Для исследования начального перемещения зуба используется понятие центра сопротивления. Данный центр вводится как аналог центра масс, только для тела, погруженного в упругую среду. В работе [2] данное понятие вводится наиболее строго. Зуб рассматривается как абсолютно твердое тело, периодонтальная связка, окружающая зуб, как линейно-упругая среда. Зуб находится в состоянии устойчивого равновесия. При приложении системы сил тело испытывает малые перемещения в пределах костной лунки. Центр сопротивления вводится как точка, обладающая следующими свойствами: если приложенная система сил сводится к равнодействующей с линией действия, проходящей через центр сопротивления, то зуб начнет поступательное перемещение; если приложенная система сил сводится к паре сил, то зуб повернется вокруг данного центра. Центр сопротивления существует лишь в исключительном случае наличия оси симметрии у корня зуба. Для углубленного изучения вопроса необходимо введение нового понятия, которое бы сохраняло основные свойства центра сопротивления и существовало бы в случаях, когда данного центра не существует. Авторами предлагается соответствующее понятие – область сопротивления зуба [3].


ОБЛАСТЬ СОПРОТИВЛЕНИЯ ЗУБА
Используем модель системы «зуб-периодонт», описанную выше [2, 3]. Пусть – вектор-столбец компонент перемещения полюса; – вектор-столбец компонент малого поворота зуба вокруг полюса; – главный вектор системы сил; – главный момент системы сил относительно полюса. Тогда, вследствие линейной упругости среды,

, (1)

где – матрицы, которые определяются формой корня зуба, упругими свойствами периодонта и положением полюса.

Пусть – симметричная часть матрицы ; – антисимметричная часть матрицы ;


– вектор, соответствующий матрице . Можно показать, что центр сопротивления существует, если и только если , а компоненты вектора являются его координатами. Тогда всякая прямая поступательного воздействия проходит через эту точку и всякая прямая, проходящая через эту точку, является прямой поступательного воздействия (рис. 1). Если же , то центр сопротивления не существует, но прямые поступательного воздействия могут существовать, и их множество будет определять область сопротивления. Назовем областью сопротивления зуба область, имеющую следующие свойства: всякая прямая поступательного воздействия проходит через эту область и через всякую точку этой области проходит прямая поступательного воздействия (рис. 2).


С


Рис. 1. Центр сопротивления Рис. 2. Область сопротивления


Пусть – вектор приложенной к зубу силы, а – радиус-вектор точки приложения этой силы; тогда из (1) и определений матриц , следует, что

. (2)

Тогда, направив оси системы координат по главным осям матрицы , а полюс (начало системы координат) поместив в точку, координаты которой суть компоненты вектора , из (2) следует, что условие эквивалентно условию

, (3)

где – собственные значения матрицы ; – компоненты вектора . Приравнивая определитель матрицы (3) к нулю, получим уравнение поверхности второго порядка

. (4)

Проводя через каждую точку поверхности (4) прямую вдоль собственного вектора матрицы (3) отвечающего нулевому собственному значению этой матрицы, получается множество прямых поступательного воздействия. Комбинация из знаков чисел определяет вид данного множества, а следовательно и области сопротивления. Значения определяют размеры области.

Данная теория вошла в основу программы для определения положения центра/области сопротивления.
ВИДЫ ОБЛАСТЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Общий случай

Корень зуба задается близким к физиологической форме верхнего резца (не имеющей никаких элементов симметрии) (рис. 3, а). Пользуясь программой, в данном случае можно определить числа : Уравнение поверхности (4) принимает вид канонического уравнения однополостного гиперболоида

.

Все возможные прямые поступательного воздействия расположены таким образом, что являются одним из семейств прямолинейных образующих данного однополостного гиперболоида (рис. 3, б). Область сопротивления – эллипс минимального диаметра (рис. 3, в).




y

y

y

y



z

x

x

x

z

x


z

z

а б в


Рис. 3. К общему случаю: а – положение гиперболоида относительно корня зуба (синие линии – границы корня, фиолетовые линии – пружины); б – связь гиперболоида и прямых поступательного движения (красные линии); в – положение эллипса в трех плоскостях (зеленая
линия – y-полуось, красная линия – x-полуось)


Случаи наличия элементов симметрии

а) Корень зуба задается формой прямоугольного параллелепипеда, имеющего две плоскости симметрии (рис. 4). Собственные значения равны Уравнение поверхности (4) принимает вид канонического уравнения пары пересекающихся плоскостей. Стоит отметить, что эти плоскости взаимно перпендикулярны (т.к. ).



.

Область сопротивления – две точки, лежащие на прямой пересечения двух плоскостей.




y

y

x

x

z

z



Рис. 4. К случаю с двумя плоскостями симметрии. Синяя, зеленая точки – точки области сопротивления, красные линии – прямые поступательного воздействия

б) Корень зуба задается формой тела, имеющей ось симметрии n-порядка (n>2) (рис. 5). Собственные значения получились равны Следовательно, область сопротивления совпадает с центром сопротивления, и все прямые поступательного воздействия пересекаются в одной точке.


y

y

x

z

x

z



Рис. 5. К случаю с осью симметрии: а – ось симметрии 4-го порядка; б – ось симметрии 6-го порядка; красные линии – прямые поступательного воздействия


ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результатом данной работы является создание методики для определения положения области сопротивления как множества прямых поступательного воздействия, также установлена связь между видом области сопротивления и геометрическими параметрами системы «зуб–периодонт».
Литература


  1. Дубинин А.Л., Няшин Ю.И., Осипенко М.А. Анализ развития центра сопротивления // Российский журнал биомеханики, 2014, Т. 18, № 4, С. 452–470.

  2. Osipenko M.A., Nyashin M.Y., Nyashin Y.I. Center of resistance and center of rotation of a tooth: the definitions, conditions of existence, properties // Russian Journal of Biomechanics, 1999, Vol. 3, № 1, P. 1–11.

  3. Осипенко М.А., Няшин Ю.И., Няшин М.Ю., Дубинин А.Л. Область сопротивления зуба: определения и свойства // Российский журнал биомеханики, 2013, Т. 17, № 2, С. 31–38.


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©dogmon.org 2019
обратиться к администрации

    Главная страница