В повседневной жизни и при изучении других предметов

• 
  выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;
  
• 
  решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;
  
• 
  решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.
  

• 
  Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;
  
• 
  изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью компьютерных инструментов.
  

• 
  выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;
  
• 
  вычислять площади прямоугольников, квадратов, объемы прямоугольных параллелепипедов, кубов.
  

• 
  выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;
  
• 
  оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.
  

• 
  Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей.
  

• 
  Оперировать на базовом уровне5 понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность;
  
• 
  задавать множества перечислением их элементов;
  
• 
  находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;
  
• 
  оперировать на базовом уровне понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;
  
• 
  приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.
  

• 
  использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов.
  

• 
  использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений;
  
• 
  использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;
  
• 
  выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;
  
• 
  оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;
  
• 
  распознавать рациональные и иррациональные числа;
  
• 
  сравнивать числа.
  

• 
  оценивать результаты вычислений при решении практических задач;
  
• 
  выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;
  
• 
  составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.
  

• 
  Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;
  
• 
  выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые;
  
• 
  использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;
  
• 
  выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений и выражений с квадратными корнями.
  

• 
  понимать смысл записи числа в стандартном виде;
  
• 
  оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».
  

• 
  Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение неравенства;
  
• 
  проверять справедливость числовых равенств и неравенств;
  
• 
  решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным;
  
• 
  решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;
  
• 
  проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства);
  
• 
  решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;
  
• 
  изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.
  

• 
  составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других учебных предметах.
  

• 
  Находить значение функции по заданному значению аргумента;
  
• 
  находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;
  
• 
  определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению на координатной плоскости;
  
• 
  по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции;
  

строить график линейной функции;

• 
  проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности);
  
• 
  определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций;
  
• 
  оперировать на базовом уровне понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;
  
• 
  решать задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным подсчетом без применения формул.
  

• 
  использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания, области положительных и отрицательных значений и т.п.);
  
• 
  использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других учебных предметов.
  

• 
  Иметь представление о статистических характеристиках, вероятности случайного события, комбинаторных задачах;
  
• 
  решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;
  
• 
  представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;
  
• 
  читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;
  
• 
  определять основные статистические характеристики числовых наборов;
  
• 
  оценивать вероятность события в простейших случаях;
  
• 
  иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.
  

• 
  оценивать количество возможных вариантов методом перебора;
  
• 
  иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий;
  
• 
  сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;
  
• 
  оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях.
  

• 
  Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;
  
• 
  строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;
  
• 
  осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;
  
• 
  составлять план решения задачи;
  
• 
  выделять этапы решения задачи;
  
• 
  интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;
  
• 
  знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;
  
• 
  решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;
  
• 
  решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;
  
• 
  находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;
  
• 
  решать несложные логические задачи методом рассуждений.
  

• 
  выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать прикидку).
  

• 
  Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур;
  
• 
  извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде;
  
• 
  применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;
  
• 
  решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.
  

• 
  использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания.
  

• 
  Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция.
  

• 
  использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.
  

• 
  Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;
  
• 
  применять формулы периметра, площади и объема, площади поверхности отдельных многогранников при вычислениях, когда все данные имеются в условии;
  

применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей в простейших случаях.

• 
  вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.
  

• 
  Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов.
  

• 
  выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни.
  

• 
  Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.
  

• 
  распознавать движение объектов в окружающем мире;
  
• 
  распознавать симметричные фигуры в окружающем мире.
  

• 
  Оперировать на базовом уровне понятиями вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости;
  
• 
  определять приближенно координаты точки по ее изображению на координатной плоскости.
  

• 
  использовать векторы для решения простейших задач на определение скорости относительного движения.
  

• 
  Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;
  
• 
  знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей;
  
• 
  понимать роль математики в развитии России.
  

• 
  Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических задач;
  
• 
  Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства.
  

• 
  Оперировать понятиями: определение, теорема, аксиома, множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств;
  
• 
  изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;
  
• 
  определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;
  
• 
  задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;
  
• 
  оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания (импликации);
  

• 
  строить высказывания, отрицания высказываний.
  

• 
  строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;
  
• 
  использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для описания реальных процессов и явлений.
  

• 
  Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;
  
• 
  понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;
  
• 
  выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений;
  
• 
  выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;
  
• 
  сравнивать рациональные и иррациональные числа;
  
• 
  представлять рациональное число в виде десятичной дроби
  
• 
  упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;
  
• 
  находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.
  

• 
  применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;
  
• 
  выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;
  
• 
  составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;
  

• 
  записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерения.
  

• 
  Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;
  
• 
  выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);
  
• 
  выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;
  
• 
  выделять квадрат суммы и разности одночленов;
  
• 
  раскладывать на множители квадратный трехчлен;
  
• 
  выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;
  
• 
  выполнять преобразования дробно-рациональных выражений: сокращение дробей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую отрицательную степень;
  
• 
  выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;
  
• 
  выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни;
  
• 
  выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.
  

• 
  выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;
  

• 
  выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов.
  
• 
  Уравнения и неравенства
  
• 
  Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);
  
• 
  решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований;
  
• 
  решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью тождественных преобразований;
  
• 
  решать дробно-линейные уравнения;
  
• 
  решать простейшие иррациональные уравнения вида , ;   f xa     f xg x
  
• 
  решать уравнения вида ; nx a 
  
• 
  решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;
  
• 
  использовать метод интервалов для решения целых и дробно- рациональных неравенств;
  
• 
  решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;
  
• 
  решать несложные квадратные уравнения с параметром;
  
• 
  решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;
  
• 
  решать несложные уравнения в целых числах.
  

• 
  составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;
  
• 
  выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;
  

• 
  выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;
  
• 
  уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.
  
• 
  Функции
  
• 
  Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, четность/нечетность функции;
  
• 
  строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, функции вида: , , , ; k y a x b    y x  3 y x  y x 
  
• 
  на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x) для построения графиков функций ; y af kx bc   
  
• 
  составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
  
• 
  исследовать функцию по ее графику;
  
• 
  находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности квадратичной функции;
  
• 
  оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;
  
• 
  решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.
  

• 
  иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;
  
• 
  использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов.
  

• 
  Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;
  
• 
  использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;
  
• 
  различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;
  
• 
  знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);
  
• 
  моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;
  
• 
  выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;
  
• 
  уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;
  
• 
  анализировать затруднения при решении задач;
  
• 
  выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;
  
• 
  интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;
  
• 
  анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;
  
• 
  исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;
  

• 
  решать разнообразные задачи «на части»,
  
• 
  решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;
  
• 
  осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;
  
• 
  владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;
  
• 
  решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;
  
• 
  решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;
  
• 
  решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;
  
• 
  решать несложные задачи по математической статистике;
  
• 
  овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.