Формальная логика

Виды понятий

Понятия делятся на следующие виды: 1)пустые, единичные и общие,

2)конкретные и абстрактные, 3)положительные и отрицательные, 4)безотносительные и соотносительные, 5)регистрирующие и нерегистрирующие, 6)собирательные и разделительные.

Пустые, единичные и общие понятия различаются своими объемами.

Конкрентные понятия отражают материальный предмет во всем много-образии его признаков, свойств, связей и отношений, абстрактные –

не сам предмет, а его свойства, например: “честность”, “белизна” и т.п.

других предметов (“лестница”, “весна”).

1. 
   Укажите пустые, единичные, общие понятия; определите, какие общие понятия являются регистрирующими и какие - нерегистрирующими.
   

1.5.Географическая карта. 1.6.Кентавр. 1.7.Царь Петр I. 1.8.Врач стоматолог.

1.9.Книжный фонд научной библиотеки СГУ. 1.10.Малые реки России.

2. 
   Выделите собирательные и разделительные понятия.
   

проживает треть населения Земли. 2.3. Книга – лучший подарок. 2.4.Ничто

не возвышает человека больше, чем знания. 2.5.Республики СНГ являются суверенными государствами. 2.6. Достижения науки принадлежат человече ству. 2.7.Страны центральной Африки являются регионом бедности. 2.7.Судьи и народные заседатели независимы и подчиняются только закону. 2.8. Достижения науки принадлежат человечеству. 2.9.Балтийский флот.

2.10.Закон составляет основу системы права государства. 2.11.Декабрист.

3. Укажите конкретные и абстрактные понятия.

3.1. Стратегия. 3.2.Равенство. 3.3.Преступление. 3.4.Самоотверженность.

3.5.Патриот. 3.6.Планета. 3.7.Родина. 3.8.Гражданское мужество. 3.9.Страх.

3.10.Судьба. 3.11.Сомнение. 3.12.Формальная логика. 3.13.Республика Шкид.

4. 
   Указать положительные и отрицательные понятия.
   

4.6.Безволие. 4.7.Конституция. 4.8.Наука. 4.9.Аноним. 4.10.Невесомость.

4. 
   Выясните, являются ли данные понятия безотносительными или соотносительными.
   

5.7.Ной. 5.8. Взяткодатель. 5.9.Антипатия. 5.10.Опасность.5.11.Любопытство.

4. 
   Дать полную логическую характеристику понятиям
   

6.4.Рота. 6.5.Невменяемость. 6.6.Учитель младших классов. 6.7.Крыжовник.

6.8.Кража. 6.9.Киноискусство. 6.10.Дезактивация. 6.11.Хлеб ржаной. 6.12.Низ

Отношения между понятиями
Отношение – одна из форм всеобщей взаимосвязи всех предметов, явлений, прцессов в природе, обществе. Отношения между понятиями - отражение этих связей в мышлении. Отношения предметов (понятий) друг к другу исключительно многообразны: “часть и целое”, “основание и следствие (если…,то…)”, “…больше,чем…”, “…брат…”. В математике и логике важнейшими являются:отношения включения и равенства (классов), функциональные отношения, отношения порядка и эквивалентности.

Понятия делятся на две большие группы - сравнимых и несравнимых

2) пересечение (перекрещивание), 3) подчинение (субординация),

и три вида отнощений несовместимости: 1) соподчинение (координация), 2) противоположность (контрарность), 3) противоречие (контрадикторность).

Отношения между понятиями определяются через отношения объемов понятий. Для совместимых понятий, соответственно, примеры отношений

(изображенных с помощью кругов Эйлера):

равнозначных, перекрещивающихся и подчиненных
A B A B A B
(A) живописец (A) литература (A) высшее учебное заведение

(B) художник (B) драматургия (B) университет

Для несовместимых понятий примеры отношений (изображенных с помощью кругов Эйлера):

cоподчинения, противоположности и противоречия
С C

A B A B A A

(A) спортивная игра (A) цвет (A) научный

(B) теннис (B) белый (B) ненаучный

(C) хоккей (С) черный

Соподчиненные понятия представляют виды одного родового понятия. Признак, по которому один вид отличается от другого, называется признаком видового отличия.

Противоположные понятия – несовместимые понятия, между которыми есть третье, и которые не только отрицают друг друга, но и несут в себе нечто положительное.

Противоречащие понятия - такие несовместимые понятия, между которыми нет третьего, промежуточного понятия, и которые исключают друг друга.

Упражнение

1. 
   Определите вид отношения между совместимыми понятиями и изобразите его с помощью кругов Эйлера.
   

1.2. Юрий Гагарин(A). Первый космонавт(B).

1.3. Республика(A). Монархическая республика(B).

1.4. Офицер(A). Спортсмен(B). Орденоносец(C).

1.5. Литератор(A). Художник(B). Поэт(C).

1.6. Ученый(A). Борец за мир(B).

1.7. Актриса(A).Исполнительница роли Аксиньи в кинокартине по роману

М.Шолохова “Тихий Дон”.

1.8. Многоугольник(A). Треугольник(B).

1.9. Парадокс(A). Антиномия(B).

1.10.Истина(A). Ложь(B).

2. 
   Подберите понятия, равнозначные данным.
   

2.6. Столица Австрии. 2.7. Автор “Мойдодыра”. 2.8 .Пегас. 2.9. Столетие.

3. 
   К данным понятиям подберите подчиненные и подчиняющие понятия.
   

3.6. Форма мышления. 3.7. Регистрирующее понятие. 3.8. Драматургия.

3.9. Баскетбол. 3.10. Химический элемент. 3.11. Рембрант. 3.12.Министерство

4. Подберите понятия, находящиеся в отношении пересечения к данным.

4.1. Полковник. 4.2. Иудаизм. 4.3. Волюнтаризм в политике. 4.4. Троллейбус

4.5. Парусник. 4.6. Подлежащее. 4.7. Силлогистика Аристотеля. 4.8.Л.Эйлер.

5. 
   Определите вид отношения между несовместимыми понятиями,
   

5.1. Преступление(A). Хозяйственное преступление(B). Должностное преступление(C). 5.2. Известность(A). Неизвестность(B).

5.2. Общественная наука(A). Философия(B). Политэкономия(C).

5.3. Арифметическая операция(A). Операция сложения(B). Операция умножения(C). 5.6.

5. 
   Подберите понятия, соподчиненные данным.
   

5. 
   Подберите понятия, противоположные и противоречащие данным.
   

7.8.Высокая гора.7.9.Тяжелый металл.7.10.Одно из равновероятных событий.

8. Подберите понятия противоположные и противоречащие данным.

8.1.Белый. 8.2.Равный. 8.3.Неравный. 8.4.Число нечетное. 8.5. Органический. 8.6.Растворы ненасыщенные. 8.6. Углеводороды предельные. 8.7. Окислы солеобразующие. 8.8. В классической логике истинное утверждение.

9. 
   Определите вид отношения между понятиями, изобразите его кругами
   

9.1.Разведка(A). Контрразведка(B). 9.2. Литератор(A).Публицист(B). 9.3.Кривая второго порядка(A).Эллипс(B).Окружность(C).

9.4.Верующий(A).Атеист(B). 9.5.Контрабанда(A).Бандитизм(B).Государствен

ное преступление(C). 9.6. Еженедельник(A).Периодика(В). 9.7.Самолет(A). Вертолет(B). 9.8. Пирамида(A).Конус(B). 9.9. Эрудит(A).Невежда(B).

10. Приведите примеры понятий в психологии. Установите отношения между ними.
Операции над понятиями
Обобщение – переход от понятия с меньшим объемом и большим содержанием к понятию с большим объемом и меньшим содержанием (“виолончель – музыкальный инструмент”). Ограничение – переход от понятия с большим объемом и меньшим содержанием к понятию с меньшим объемом и большим содержанием (“металл - калий”).

Операция деления - посредством которой объем делимого понятия

распределяется на классы по известному признаку. Понятие, подлежащее делению, называют делимым, подмножества, получающиеся в результате деления, - членами деления, признак, по которому производится деление, - основанием деления.

члены деления – “замечание”, “выговор”, “строгий выговор”, “перевод на нижеоплачиваемую должность на срок до трех месяцев”, “смещение на низшую должность на тот же срок”.

Получающиеся в результате деления подмножества могут, в свою очередь, быть подвергнуты делению. При выполнении операции деления должны соблюдаться следующие правила деления:

1. 
   Деление должно быть соразмерным. Это значит, что объем делимого
   

2. 
   Деление на каждом его этапе должно производиться по одному
   

“международные договоры” на “справедливые”, “несправедливые”, “'экономические” и “военные”, поскольку сначала признаком деления была равноправность, а затем характер договора.

3. Члены деления должны исключать друг друга. Пример, связанный с нарушением этого правила: “войны” делятся на: “справедливые”, “несправедливые” и “освободительные”, так как “освободительные войны” входят в объем “несправедливых”.

4. Деление должно быть непрерывным, т.е. при последующем делении

деление происходит внутри членов деления. Пример: “грамматические предложения” делятся на “простые” и “сложные”, затем “сложные предложения” делятся на “сложносочиненные” и “сложноподчиненные”.

Деление называется дихотомическим, если оно есть деление на два

противоречащих понятия, например, “белый” и “небелый”.
Упражнение

1. 
   Найдите обобщающие понятия к данным.
   

1.6.Мошенничество. 1.7. Гипербола. 1.8. Горные лыжи. 1.9. Крейсер.

2. 
   Постройте ограничения данных понятий.
   

2.4.Форма политического правления. 2.5. Домашнее животное. 2.6. Лес.

3. 
   Проверьте правильность обобщения и ограничения понятий.
   

3.4.Республика – Федерация. 3.5.Халатность – Должностное преступление.

3.6.Преступление – Клевета. 3.7.Доцент – Профессор. 3.8.Бег – Бег трусцой.

3.9.Государство – Республика. 3.10.Великая Отечественная война – Справед

ливая война. 3.11.Аксиома – Постулат. 3.12.Организм – Живая клетка.

4. 
   Укажите вид деления понятий, делимое понятие, члены деления,
   

4.1. Химические вещества делятся на кристаллические и аморфные.

4.2. Городской транспорт подразделяется на виды: автомобиль, трамвай, троллейбус, автобус, метро, речной трамвайчик, электричка, велосипед.

4.3. Птица русского подворья: куры, утки, гуси, индейки, цесарки, фазаны.

4.4. Науки делятся на естественные, технические и гуманитарные.

5. 
   Проверьте правильность деления понятий; укажите, какие правила
   

5.1. Видами искусства являются: художественная литература, скульптура,

музыка, архитектура и портретная живопись.

5.2. Преступления делятся на умышленные, хозяйственные и неосторожные.

5.3. Политический режим может быть демократическим и недемократическим.

5.4. Сделки бывают двусторонними, многосторонними и по доверенности.

5.5. Языки делятся на естественные, искусственные и славянские.

5.6. Речь бывает устной, письменной, путанной и народной.

5.7. Приговоры бывают обвинительными, оправдательными и несправедли

выми.

5.9. Периодическая таблица Д.И.Менделеева.

5.10.Потерпевшим признается лицо, которому преступлением причинен моральный, физический или имущественный вред.

5.11.Или же я не понимаю, или же ты не хочешь меня понять (А.Чехов).

5.12. Иль чума меня подцепит,

Иль мороз окостенит,

Иль мне в лоб шлагбаум влепит

Непроворный инвалид. (Пушкин)

6. Cоставьте план научной (курсовой, дипломной) работы, правильно применяя логические операция над понятиями.

Содержание работы складывается из введения, основного содержания и

заключения.

Во Введении указывается цель работы, определяются общие для всей работы основные понятия, условия истинности результатов работы, даются отличия данной работы от аналогичных работ, излагается предна

значение работы и т.п.

Так как любой раздел работы (глава, параграф и т.п.) есть такая же работа, то к ней относятся все требования, предъявляемые к работе в

целом, в том числе и касающиеся введения. Однако при этом необяза тельно выделять введение как специально обособленную часть работы, имеющую отдельное заглавие. Но любая часть (глава, параграф и т.п.)

должна иметь введение, хотя бы потому, что надо определять исполь

зуемые в этой части понятия.

Основная часть составляет содержание всей работы (основное поня тие, ответ на основной вопрос). Ответ на основной вопрос осуществля

ется делением основного понятия (основного вопроса) на вспомогатель ные понятия (вспомогательные вопросы) и т.д. по правилам операции

деления до тех пор, пока на вспомогательные вопросы не будут полу

чены ответы, из которых постепенно и синтезируется ответ на основ

ной вопрос. Покажем это на примере понятия “Формальная логика”.

Вспомогательными вопросами будут вопросы о понятиях разделов I и II “Традиционная логика” и “Математическая логика”. Понятие “Традицион ная логика” подразделяется на вспомогательные понятия: “Понятие”, ”Суждение” и “Умозаключение”, которые в свою очередь могут быть подвергнуты делению. Например, понятие “Понятие” делится на: “Объем и содержание понятия”, “Виды понятий”, “Отношения над понятиями” и “Операции над понятиями”. Вспомогательное понятие “Отношения над понятиями” в свою очередь делится на: несравнимые

и сравнимые, а последние – на совместимые и несовместимые, которые в свою очередь делятся, соответственно, на: равнозначные, перекрещива ющиеся, подчиненные, и: соподчиненные, противоположные, противоречи вые. Таким образом, в соответствии с последовательностью глав, парагра фов и других разделов работы даются ответы на вспомогательные вопро сы самого низшего уровня деления и на основе этих ответов последова тельно даются ответы на вопросы более высоких уровней вплоть до ответа на основной вопрос.

Однако остается невыясненным одно обстоятельство: как логически

правильно обосновать основной результат, если известны вспомогатель ные результаты. Это делается с помощью умозаключений. Этот вопрос рассматривается в последующих параграфах.

Основная задача Заключения - это обоснование того, что поставлен ная цель достигнута, т.е. то, что основной результат действительно

обоснован на базе вспомогательных результатов. В Заключении также

приводятся следствия из результатов работы, указываются области их применения и другие важные результаты.

В Заключение работы “Формальная логика” говорится о научном и практическом применениях формальной логики.

Определения делятся на реальные и номинальные, явные и неявные,

семантические и синтаксические, определения через абстракцию, генети

ческие, операциональные, аналитические, остенсивные.

дающих специальными знаниями в области науки, культуры и профессио нально занимающихся сложным умственным трудом ”.

К разновидностям номинальных определений относятся:

• 
  установление значения вновь вводимого в язык знакового выражения;
  
• 
  установление синонимичности двух знаковых выражений с целью
  

• 
  использование термина для сокращения другого знакового выражения
  

Номинальные и реальные определения взаимопереводимы в том смысле, что термин является именем реального объекта.

Термином “Dfd” (definiendum) обозначается определяемое, а термином “Dfn” (definiens) – определяющее понятие. Общая структура явного определения записывается в виде выражения Dfd  Dfn, где знак “” обозначает некоторое отношение отождествления Dfd и Dfn, которое может выступать в виде отношения равенства и эквивалентности, или

для фиксации обозначения. Явные определения подразделяются на абсолютные и неабсолютные. Абсолютными называются определения, в которых ни одна имеющая самостоятельное значение лексическая часть Dfd не входит одновременно и в Dfn (“Барометр есть предмет,служащий для измерения атмосферного давления”). Неабсолютными называются определения, в которых какая-то имеющая самостоятельное значение

лексическая часть Dfd входит в состав Dfn. Таково, например, определение “Экономические преступления есть преступления в хозяйственной области”.

Основным видом явного определения является определение классическое - через род и видовое отличие, в котором предметы определяемого понятия вводятся в объем более широкого понятия и при этом с помощью отличительных признаков (видового отличия) выделяются среди предметов этого более широкого понятия.

Например, “кибернетика есть наука об общих закономерностях процессов управления и передачи информации в сложных машинах и интеллектуальных системах”, где понятие “кибернетика” определяется

сначала через родовое понятие “наука” , а затем посредством специфици

рующего признака “общих закономерностях процессов управления и передачи информации в сложных машинах и интеллектуальных системах” выделяется среди других наук, не обладающих этим признаком.

Применительно в первую очередь к классическому определению формулируются следующие правила построения определений:

(1) Правило взаимозаменимости Dfd и Dfn., или соразмерности понятий

Dfd и Dfn (определяемое и определяющее понятия должны иметь одинаковый объем).

(2) Правило однозначности: в научных теориях каждому Dfn должен соответствовать лишь единственный Dfd.

(3) Правило непротиворечивости: введение новых определений не должно привести к противоречию в теории.

(4) Правило отсутствия порочного круга, когда понятие определяется через себя же, как например, “соната - это музыкальное произведение, написанное в сонатной форме” .

Явным определениям противопоставляются неявные определения, которые подразделяющиеся на 1) аксиоматические определения аксиоматических теорий, в которых определяются системы объектов, удовлетворяющих аксиомам; тем самым определяется и система значений для терминов, встречающихся в аксиомах, и

2) контекстуальные, в которых определяемый термин (и обозначаемый им объект) извлекается из контекста (определение неявной функции в математике, например, “x² + y² = r^2” , откуда определяемый термин “y” может быть извлечен в явной форме).

Родово-видовые отношения играют большую роль и при делении понятий, и в классификациях.

руется: (1) через правила его употребления (значения шахматных фигур, карт и т.п., определяемые правилами игры),

(2) через определения систем объектов чисто формальными средствами

(формальные языки, исчисления, формальная арифметика, индуктивные определения, аксиоматическая теория множеств и т.д.). Синтаксическим определениям противопоставляются семантические определения.

(реального или абстрактного). Например, “термин “треугольник” обозначает плоский многоугольник с тремя сторонами”. В математической логике и в математике семантические определения используются для интерпрета ции формальных языков (приписывания им содержательного значения).

рецепт в поваренной книге.

Остенсивным определениям противопоставляют вербальные определения, которые формулируются на основе одной лишь знаковой информации.

1. Укажите вид определения, определяемое и определяющее понятия,

в классическом определении - родовое понятие и видовое отличие.

1.1. Нормативный акт – это правовой акт государства, в котором содержатся предписания – нормы права, регулирующие общественные отношения определенного вида.

1.2. Концерн – форма монополистического объединения с очень высоким уровнем концентрации и централизации капитала и производства.

1.3. Сфера – поверхность, образованная вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

1.4. Этика – философская наука, изучающая мораль, как форму общественного сознания.

1.5. Софизм – рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скры

тую логическую ошибку.

1.6.Десерт – это сладкие блюда и фрукты, подаваемые к столу в конце обеда.

1.7.Диалектическая логика – учение об общих законах развития природы, общества и человеческого познания.

2. Установите правильность следующих определений; укажите, какие

правила нарушены.

2.1.Учение – мать умения.

2.2.Кибернетика – не искусство.

2.3.Категория – наиболее общее понятие, отражающее наиболее существенные связи и отношения реальной действительности и познания.

2.4. Классификация – многоступенчатое, разветвленное деление объема понятия. Результатом классификационного деления является система соподчиненных полнятий: делимое понятие является родовым, члены

деления – виды, подвиды и т.д. (Примерами классификаций являются:

в химии - периодическая таблица Д.И.Менделеева, в биологии – систематика К.Линнея).

2.5. Апелляция – последняя надежда абитуриента.

2.6. Материя – это то, что состоит из воды, земли, воздуха и огня.

(Аристотель)

2.7.Материя – это вещество, состоящее из частиц с полуцелым спином.

(Физика микромира.М.Мир.,1980)

3. Примеры индуктивных определений формул исчисления высказываний (предикатов) (см. раздел II, глава I, глава II).

Г л а в а 2.
СУЖДЕНИЕ
Суждение (высказывание) – форма мышления, в которой что-то утвер-

ждается или отрицается относительно предметов (и явлений), их свойств и отношений. Языковой формой суждения является повествовательное предложение, истинное или ложное. К примеру, не будет суждением предложение: “Прощай, свободная стихия!” (А.С.Пушкин)

Та часть суждения, которая отображает предмет, называется субъек том и обозначается буквой S, а та часть суждения, которая отображает свойство (или отношение) называется предикатом суждения и обознача ется буквой P. Слово “есть” называется связкой. Таким образом, сужде

ние имеет вид “S есть (не есть) P” или “S₁ , S₂ находятся между собой в отношении P”, а предикаты могут быть одно-, двух- и т.д. местными.

В суждении отражается объективная связь между предметом и его

свойствами, отношения с другими предметами. Эта связь многогранна и меняется по мере углубления нашего знания о предмете (а также с изме нением самого предмета). Поэтому суждения имеют разные виды:

1^O утвердительные и отрицательные (по наличию или отсутствию какого-то признака);

2^O единичные, частные, общие (в которых что-то утверждается или отрицается соответственно: об отдельном предмете, о части предметов класса, обо всех предметах класса);

3^O условные (если A, то B), разделительные (только A, или только B) и категорические (безусловные);

4^O возможные (“Спартак, возможно, выиграет у Баварии”), действитель ные (“Спартак выиграл у ЦСКА”), необходимые (“Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками”).

Суждения, имеющие субъектно - предикатную форму, назовем простыми суждениями, или атомами. Если структура простого суждения несущественна, для их обозначения используются буквы. Содержание суждения может быть конкретным (“снег белый”) или семантическим (“истина” или “ложь”).

Операции над суждениями задаются с помощью кванторов: “для всех” (“всеобщности”) и “для некоторых”(существования) и логических связок: “и”(конъюнкция), “или”(дизъюнкция), “или, или ”(строгая дизъ юнкция) “не”(отрицание), “если …, то …”(импликация), “ … тогда и только тогда, когда …”(эквивалентность), обозначаемых соответственно символами : ,  и &, ,  , , ,  . Образованные с помощью логических связок суждения называются составными.

Составное суждение вида A  B разделительным, вида AB - условным, где A – посылка (основание), а B – заключение (следствие); вида A B - эквивалентностью Суждения A, B эквивалентны, если они одновременно истинны или ложны, т.е. суждение A B истинно.

Основное свойство каждого суждения заключается в том, что оно либо истинно, либо ложно (и что оно не может быть истинным и ложным одновременно)^*). Для любого составного суждения мы будем

интересоваться его значением в зависимости от значений составляющих его простых суждений. Рассмотрим ситуацию зачисления в ВУЗ, если сдаются экзамены по трем предметам A,B,C и проходной балл 13. Очевидно, что суждение абитуриент зачислен в ВУЗ, истинно только

для 7-ми распределений значений букв A,B,C из 64-х.
Упражнение

1. Найдите предложения, выражающие суждения.

1.1. Ребята! Не Москва ль за нами? (М.Ю.Лермонтов)

1.2. 2+2=5.

1.3.В здоровом теле – здоровый дух.

4. 
   Подложный документ не является доказательством.
   

2. 
   В приведенных объектно-предикативных суждениях найдите субъект и предикат.
   

2.2.Троицкая башня Московского Кремля построена раньше всех остальных башен.

2.3.Мышление без языка невозможно.

2.4.А.С.Пушкин – солнце русской поэзии.

3. 
   По кванторной приставке установите вид суждения.
   

3.2.Все следователи – юристы.

3.3.Часть строителей не выполнила плана сдачи объектов.

3.4.Ни один самолет не выходит в рейс без технического осмотра.

3.5.Некоторые студенты получают повышенную стипендию.

3.6. Все дороги ведут в Рим (Поговорка).

4. Установите вид составного суждения, укажите его части. Запишите

суждения с помощью символов: переменных и логических связок.

4.1. Если Н.-гражданин России, то по достижению 18 лет он становится

совершеннолетним.

4.2. Шторма бояться – в море не ходить.

4.3. При нарушении служащим дисциплины администрация обязана взять у него либо устное, либо письменное объяснение.

4.4. Виды трудового договора предусматривают зачисление работника или на неопределенный срок(постоянная работа), или на определенный срок не более 3-х лет, или на время выполнения определенной работы.

4.5. Неприятное впечатление на слушателей производит не только физическая скованность, но и беспорядочная жестикуляция оратора.

4.6. Современная война не будет знать ни фронта, ни тыла, ни воюющих, ни нейтральных.

4.7. Все граждане, служащие делу правосудия, должны быть кристально чистыми перед законом, перед народом, либо не должны работать в этой области.

4.8. Живая природа в своей эволюции пошла по трем путям своего развития : мышцы, покровительственная окраска и мозг.

5. Укажите условные, разделительные и категорические суждения.

5.1. Если люди сделали тебе добро – запомни это. Если ты сам сделал добро людям – забудь об этом.

5.2. Если по истечении срока временной работы с работником не был расторгнут договор, он считается принятым на постоянную службу.

5.3. Потеряв меня, сударь, она либо умрет от печали, либо умрет с голоду (М.Лермонтов).

5.4. Эта гроза даром не пройдет. Либо уж убьет кого-нибудь, либо дом сгорит (Н.А.Островский).

5.5. Если дважды два пять, то четыре простое число.

6. 
   Почтенья хочешь – меньше злоязычь;
   

А хочешь без печалей обойтись,

Наукам и ремеслам обучись (А.Навои)

.5.7. Коль нужно говорить – скажи,

Не нужно – слово придержи.(А.Навои)

5.8. Или бури завываньем

Ты, мой друг, утомлена,

Или дремлешь под жужжаньем

Своего веретена.(А.С.Пушкин)

6. Установите эквивалентность суждений:

6.1.Если отсутствует состав преступления, то уголовное дело не может быть возбуждено.

6.2. Пенсия должна начисляться гражданину России, если он достиг пенсионного возраста и имеет необходимый стаж работы.

6.3. Курить – здоровью вредить.

6.4. Строгая дизъюнкция истинна, если ее члены имеют разные значения.

6.5. Кабы молодость знала,

Кабы старость да могла,

Жизнь так часто не хромала.

Жизнь бы иначе пошла.(Вяземский)

6.6.Кризисы и конфликты – благодатная почва для международного терроризма.

6.7.Что русскому – здорово, то немцу – смерть (Поговорка).

6.8. Невежественный врач – подручный палача (А.Навои).

7. Установите вид модальных суждений (возможность, действительность, необходимость):

7.1. Материя без движения также немыслима, как движение без материи.

7.2. Кратковременные расстройства сна могут возникать у вполне здоровых людей от переутомления.

7.3. Развитие производства в XXI веке будет связано с развитием компьютерных наук.

7.4. В ком нет высоких свойств – мужчиной звать не дело:

Живым не назовешь безжизненное тело.(А.Навои)

7.5. Не плюй в колодец – пригодится воды напиться.

7.6. Завещатель может в завещании лишить права наследования одного, нескольких или всех наследников по закону (ст.198 ГК РСФСР).

7.7. Необходимым условием дифференцируемости функции является ее непрерывность.

7.8. ”Спартак”, возможно, выиграет у “Баварии”.

7.9. “Спартак” таки проиграл “Баварии”.

7.10. Исходя из результатов тибетской научной экспедиции, профессором Э.Мулдашевым было высказано предположение, что в районе острова Паски должны есть затонувшие пирамиды пирамиды.

7.11. В древних тибетских текстах упоминается, что до Всемирного потопа Северный полюс находился в районе Тибета. Возможно, что именно гора Кайлас была местом бывшего Северного полюса.

уже известных суждений по правилам формальной логики выводятся еще не известные суждения. Первые называются посылками, вторые

заключениями. Среди правил вывода формальной логики различаются дедуктивные и индуктивные правила. Дедуктивные правила - это объективные законы мышления, способ получать истины, абстрагируясь от практики и конкретного содержания суждений и основываясь только на их логической форме. Дедуктивные правила из истинных посылок всегда дают только истинные заключения. Индуктивные умозаключения не являются формальными правилами. Индукция – метод исследования,

связанный с обобщением результатов наблюдений и экспериментов. Истинность посылок в индуктивных умозаключениях не обеспечивают в общем случае истинности заключения, что является необходимым усло вием дедуктивных умозаключений. Если индуктивные методы рассматри- ваются совместно с дедуктивными, индукция становится средством формирования теоретических истин.

из двух суждений, имеющих субъектно-предикатную форму следует новое суждение (заключение), имеющее также субъектно-предикатную форму. Аристотель первый осознал формальную сторону силлогизмов, т.е. их независимость от конкретного содержания, а введя буквенные cимволы для обозначения переменных, Аристотель заложил основы формального построения логики.

A (S,P) – общеутвердительное: “все S суть P”;

E (S,P) - общеотрицательное: “ни одно S не есть P” ;

I (S,P) - частноутвердительное: “некоторые S суть P”;

O (S,P) – частноотрицательное: “некоторые S не суть P”.

Здесь S – класс предметов, а P - свойство.

Суждение, в котором содержится общее свойство, называется большой посылкой; суждение, содержащее частный случай, - малой посылкой; а третье суждение – заключение силлогизма. В зависимости от положения малой посылки различаются четыре фигуры силлогизма (где X прини мает значения A, E, I, O) :
X (M,P) X (P,M) X (M,P) X (P,M)

X (S,M) X (S,M) X (M,S) X (M,S)

------------ ------------ ----------- -----------

X (S,P) X (S,P) X (S,P) X (S,P)

фигура 1 фигура 2 фигура 3 фигура 4
Одной фигуре соответствует 64 модуса, а всего для четырех фигур

имеется 256 модусов. Из всех модусов верны только 19 (отмеченные * верны для непустых множеств), имеющие следующие названия:

CELARENT CAMESTRES FERISO FRESISON

DARII FESTINO DISAMIS DIMATIS
FERIO BAROCO BOCARDO *BAMALIP

*DARAPTI *FESARO

*FELAPTON

фигура 1 фигура 2 фигура 3 фигура 4

модусы 1-й фигуры: AAA, EAE, AII, EIO; модусы 2-й фигуры: EAE, AEE, EIO, AOO; модусы 3-й фигуры: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO; модусы 4-й

фигуры: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO.

Можно доказать истинность силлогизмов, используя теоретико-множественную интерпретацию, где P означает область истинности предиката Р(x); тогда суждения A, E, I, получают следующую интерпретацию:

A (S,P) S  P x ( S(x) P(x) )

или

E (S,P) S  P =  x ( S(x) P(x) )

или

x  (S(x)) & P(x))

O (S,P) S \ P   x ( S(x) & P(x))

или

 ( S P )

Так силлогизм:

Все люди могут ошибаться (MAP);

Все ученые – люди (SAM);

Все ученые могут ошибаться (SAP);

может быть наглядно изображен следующим образом:

M  P

P M S S  M

P M S

Люди не могут изменить объективные законы природы (MEP);

Ученые – люди (SAM);

Ученые не могут отменить объективные законы природы (SEP);

имеет теоретико-множественное представление:

MP = ;

S  P =.

x (M(x) P(x) ) M  P 1. xMxP

x ( S(x) M(x) ) S  M 2. xSxM

x ( S(x) P(x) ) S  P 3. xS (допущение)

4. xM (modus ponens,3,2)

5. 
   5. xP (modus ponens,4,1)
   

Все звезды светят собственным светом;

Все звезды – небесные тела;

Некоторые небесные тела светят собственным светом;

Все звезды светят собственным светом;

Некоторые небесные тела – звезды;

Некоторые небесные тела светят собственным светом.

1. Изобразить модусы с помощью кругов Эйлера и доказать теоретико –

множественными средствами.

2. Доказать силлогизмы Аристотеля, используя правила вывода исчисления высказываний.

4. 
   Установить несостоятельность силлогизмов, содержащих *, для пустых
   

4. Сделайте выводы с помощью правил силлогизма:

1. 
   Все врачи имеют общее образование. Некоторые врачи – терапевты.
   
2. 
   Все сочинения А.П.Чехова нельзя прочитать за один день. Рассказ
   

4.3. “Петр 1 … разорвал покров таинственности, окутывающий царскую особу, и с отвращением отбросил от себя византийские обноски, в которые рядились его предшественники. Петр 1 не мог удовольство ваться жалкой ролью христианского далай-ламы, разукрашенного парчей и драгоценными камнями, которого издали показывали народу, когда он торжественно следовал из своего дворца в Успенский собор и из Успенского собора во дворец. Петр 1 предстает перед своим народом, словно простой смертный. Все видят, как этот неутомимый труженик, одетый в скромный сюртук военного покроя, с утра до вечера дает приказания и учит, как надо их выполнять: он кузнец, столяр, инженер, архитектор и штурман. Его видят везде, без свиты, - разьве только с одним адъютантом, - возвышающегося над толпой благодаря своему росту… Петр Великий был первой свободной лично стью в России и, уже по одному этому, коронованным революционером” (Герцен А.И. О развитии революционных идей в России//Собр.соч.Т.3.С.388).

4.4. На вопрос доктора Уотсона, каким образом Холмс узнал, что он утром был на почте и отправил телеграмму, последний сказал следующее: “…мне известно, что утром вы не писали никаких писем, ведь я все утро сидел напротив вас. А в открытом ящике вашего бюро я заметил толстую пачку почтовых открыток и целый лист марок. Для чего же тогда идти на почту, как не за тем, чтобы послать телеграмму? Отбросьте все, что не могло иметь места, и останется один-единственный факт, который и есть истина”(Конан-Дойль А. Собр.соч.)

5. 
   Внимательно осмотрев комнату, в которой совершено преступление,
   

• 
  Нам известно, что преступник не мог попасть в комнату ни через дверь, ни через окно, ни через дымовой ход. Мы знаем также, что он не мог спрятаться в комнате поскольку в ней прятаться негде. Как же тогда он проник сюда?
  
• 
  Через крышу! - воскликнул я.
  
• 
  Без сомнения. Он мог проникнуть в эту комнату только через крышу (там же).
  

2. 
   Умозаключения из суждений с отношениями
   

2) отношение перпендикулярности прямых антирефлексивно, симметрич

но, антитранзитивно.
Упражнение.

Укажите свойства отношений, на основании которых сделан вывод.

Определите его состоятельность.

1. 
   Мурманск севернее Петрозаводска. Петрозаводск севернее Пскова. Следовательно, Мурманск севернее Пскова.
   
2. 
   A = B, следовательно, B = A.
   
3. 
   Петр брат Сергея. Сергей брат Николая. Следовательно, Петр брат Николая.
   
4. 
   Антонина мать Светланы. Светлана мать Игоря. Следовательно, Антонина мать Игоря.
   
5. 
   Евгений любит Марию. Мария любит музыку. Следовательно, Евгений любит музыку.
   
6. 
   Треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’. Тогда треугольник A’B’C’ подобен треугольнику ABC.
   
7. 
   X заботится о Y. Тогда Y заботится о X.
   

В качестве основания, доказывающего истинность этого тезиса, приводятся следующие доводы:

“река Колыма течет с юга на север”;

“река Лена течет с юга на север”;

“река Енисей течет с юга на север”;

“реки Обь и Иртыш текут с юга на север”;

“реки Колыма, Лена, Енисей, Обь и Иртыш - это все крупные реки Сибири”.

Индуктивное умозаключение сложилось в процессе многовековой общественно – исторической практики людей. Так, исследуя явления природы и общества и изучая отдельные предметы, факты и события,

люди приходили к общему правилу. В мышление этот процесс познания

окружающего мира совершался индуктивно: от единичных суждений человек шел к общим суждениям, в которых выражалась общая закономерность. Так у первобытного человека на единичных примерах

выработалось общее понятие опасности, Д.И.Менделеев, изучая атомарные веса отдельных химических элементов открыл периодический

закон (таблица Менделеева), или Ч.Дарвин, наблюдая признаки отдельных видов животных, построил свою теорию о происхождении видов.

Одним из первых, кто исследовал индуктивные приемы мышления, был Сократ (469-399 гг. до н.э.). Знания, говорил он, есть понятие об общем, а общее познается в частных случаях путем сравнения этих частных случаев между собой, т.е. от частного надо идти к общему.

Известный сократовский метод майевтики включал в себя элементарные индуктивные приемы. Проблемами индуктивных методов занимался и Аристотель, например, индукцией через перечисление, заключающейся в том, что при рассмотрении какого-то класса предметов данный признак наблюдался у всех рассмотренных предметов, откуда делалось заключение о наличие этого признака у всех предметов этого класса. Индукцией особенно заинтересовались в XVII-XVIII вв., когда начали быстро развиваться естественные науки. Английский философ Фр.Бэкон (1561-1625), считая индукцию через простое перечисление ненадежной, пытался отыскать небольшое число форм, к которым бы сводилось все бесконечное многообразие явлений мира. Идеи Бэкона развил Дж.Милль (1806-1873), пытаясь найти методы установления причинных связей между явлениями, известными как каноны Милля. Ошибка Дж.Милля в том, что он, преувеличив роль индукции, оторвал ее от дедукции.

Никакое теоретическое мышление не было бы возможно, если бы человек индуктивным путем не пришел к тем или иным обобщениям.

Так что индукцию, как метод исследования, рассматривают совместно с опытным исследованием, а не только с обобщением полученных результатов. В этом случае индукция выступает, как источник формиро вания истинных утверждений и эмпирических законов (каноны индук ции, индукция научная, индукция популярная, индукция неполная).

Если индуктивные методы исследования рассматриваются совместно

с дедукцией или используют исторически приобретенный опыт, то индукция становится необходимым условием формирования и теоретических истин. Так в индийском силлогизме заключена идея, что всякое общее положение основывается на отдельных фактах. Так что именно индийская силлогистика предвосхитила индуктивные умозаключения. Индийский силлогизм в отличие от аристотелевского состоит из пяти членов.

1. 
   на холме есть огонь (тезис);
   
2. 
   ибо на холме есть дым (основание);
   
3. 
   где дым, там есть огонь, как, например, на кухне, но в пруду, например, нет огня (пример);
   
4. 
   на этом холме есть дым (применение);
   
5. 
   следовательно, на этом холме есть огонь (заключение).
   

1) “Свидетелями по делу X являются A, B, C, D и M. Во вторник были допрошены C, D и M (посылки), на следующий день – остальные свидетели (посылки). Следовательно, были допрошены все свидетели по делу X.” (полная индукция)

2) “Крестьянская война 874 – 901 гг. в Китае потерпела поражение. Крестьянская война 1524 – 1526 гг. в Германии потерпела поражение. Потерпел поражение война в Китае в 2628 – 1645 гг., а также крестьянские войны в России в XVII в. и крестьянская война под предводительством Емельяна Пугачева в 1773 – 1775 гг. Следовательно, все крестьянские войны терпели поражение.”(неполная индукция)
Упражнение

1. Определите вид индуктивного заключения, найдите посылки и заключение, установите состоятельность вывода:

1.1. Всю неделю стояла теплая погода, значит теплая погода сохранится и на следующей неделе.

1.2. Известно, что все студенты 111, 115 и 116 групп явились на экзамен,

значит все студенты первого курса явились на экзамен.

1.3. B 1581 г. Ермак начал освоение Сибири. В 1639 г. Иван Москвитин достиг Охотского моря и первым из европейцев увидел с востока Тихий океан. В 1648 г. Семен Держнев вместе с Поповым проплыл от устья Колымы в Тихий океан, обогнул Чукотский полуостров, открыл пролив между Азией и Америкой. Все это говорит о том, что наши соотечественники еще в XVI-XVII вв. прокладывали морские пути, обследовали и осваивали далекие северные просторы.

1.4. - Взгляни на этого математика, - сказал логик. - Он замечает, что пер вые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что любое число меньше сотни.

- Физик верит, - сказал математик, - что 60 делится на все числа. Он заме чает, что 60 делится на 1,2 3,4,5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например, 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так как 60 делится на них, то он считает экспериментальные данные достаточными.

- Да, но взгляните на инженера, - возразил физик. – Инженер подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идет 9 – досадный случай; по видимому, 9 не является простым числом, но 11 и 13, конечно, простые Возвратимся к 9, говорит он, я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента (Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения).

2.Определите,какой метод исследования причинных связей применяется

в следующих рассуждениях. Запишите их в виде схем.

2.1. Исследуя происхождение цветов радуги, английский мыслитель Роджер Бэкон установил, что цвета радуги появляются при пропускании света сквозь шестигранные кристаллы. Расширив область своих наблюде ний, он открыл, что то же явление имеет место и при прохождении света через другие прозрачные среды; он нашел его в каплях росы, в пыли водопада, в брызгах от ударов веслами по воде. Бэкон установил, что причиной появления цветов радуги является прохождение цветов радуги является прохождение света через прозрачные среды сферической или призматической формы (Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика.)

2.2. К.А.Тимирязев утверждал, что для образования хлорофилла нужны свет и кислород. “Чтобы доказать это, - писал он - прорастим в темноте какие-нибудь семена. Известно, что ростки получаются не зеленые, а жел тые. Разделяя полученные таким образом ростки на две кучки: одни оставим в обыкновенном воздухе, другие заключим в прибор с возду хом, лишенным кислорода, и вынем все на свет. Первые через какие-нибудь четверть часа позеленеют и вскоре получат обычную зеленую окраску; вторые, сколько бы мы их не держали на свету, останутся жел тыми. Но допустим к ним кислород, и они немедленно позеленеют.”

2.3. Зная, что каждый химический элемент имеет особый, отличающий его спектр, ученый Бунзен в 1860 г. открыл два новых щелочных металла: цезий и рубидий. Он исследовал щелочи, оставшиеся после испарения значительного количества минеральной воды из источника Дюркгейм. Изучая спектроскопом пламя, которое давали эти соли из смеси солей, он нашел какие-то светлые линии, которых он никогда не наблюдал прежде и которых, как он знал, не давали ни поташ, ни сода. Тогда он принялся анализировать смесь и наконец выделил из нее два щелочных вещества. (Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика)

2.4. “Возьмем… известный опыт с монетой и пером… Явление, подле жащее исследованию, - это замедление падения птичьего пера. Когда оба предмета бросят одновременно под колоколом воздушного насоса, из которого воздух не выкачан, то перо падает позднее монеты. Это случай, когда данное явление (т.е. более медленное падение пера) сущест вует. Затем воздух выкачивают насосом из-под колокола; тогда оба предмета, если их бросить в один и тот же момент, падают на подставку совершенно одновременно. Это случай, в котором исследу емое нами явление не происходит.” (Там же).

РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Г л а в а 1

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

метного языка изучаемой логики. Предметный язык логики высказываний

состоит из алфавита и формул:

А л ф а в и т: (1) P, Q, R,… - переменные для простых высказываний (пропозициональные буквы);

(2) &, , ,  -символы операций над высказываниями (логические связки)

3. 
   ( , ) – вспомогательные символы (скобки).
   

ные буквы - элементарные формулы (атомы);

2. 
   если A, B - формулы, то A&B, AB, A B, AB,  A - формулы.
   

Задав язык, мы построили формальную систему. Представим теперь ее как содержательную алгебру высказываний, для чего придадим смысл символам алфавита и формулам. Пропозициональные буквы и логические операции определим на области из двух элементов {И, Л}:

1. Пользуясь определениями логических операций, вычислить значения

следующих высказываний:

A&Л = AИ = ИA =

A&И = AЛ = ЛA =

AЛ = ЛA = AA =

AИ = ИA = AA =

AA =  A A =

5. 
   Определить истинность высказываний, расположенных под чертой
   

a) AB = И, AB =Л b) AB = Л c) A&B = Л, AB = И

BA = AB = BA =

d) AB = И, AB = И e) A&B = Л, AB = И, AB = И

BA = BA =

4. Существуют ли такие высказывания A, B, C, чтобы одновременно

были истинны высказывания:

a) AB = Л, B(AC) = И, CB =И.

b) A&B = И, A&C = Л, A&B&C = Л.

c) AC = Л, B A = И, A(B&C) = Л.

d) BC = Л, CA = Л, AB =Л.
5. Установить значения высказываний, расположенных под чертой, если

заданы значения формул над чертой:

1. 
   A&B = И
   

2. 
   A B = Л
   

c) BA = И

A&B = , AB = , AB = , A&B = , AB = .

d) AB = И

AB = , A&B = , BA = , AB = , AB = .
Значение формулы E[P₁, ... , P_n] при данной интерпретации входящих

в нее пропозициональных букв (входов)  : {P₁, ... , P_n}  {И,Л}

определим индукцией по построению формулы:. E = P : E[] =  (P);

E = A&B : E[] = (A&B)[] = A[] & B[]; E = A : E[] = A[];

E = AB : E[] = (AB)[] = A[]  B[];