Формальная логика


Свойства операций и отношений



страница4/7
Дата15.05.2016
Размер1.06 Mb.
#12946
ТипРеферат
1   2   3   4   5   6   7

Свойства операций и отношений


1) ,

2) ,

3)

4) A  A  B, A  B  A, A \ B  A, A  A = A, A  A = A,



,   A, A  U, A \  = A

5) A  B  A  B = B  A  B = A



  1. A  B & C  D  A  C  B  D

  2. A  B & C  D  A  C  B  D

  3. A  B & C  D  A \ D  B \ C

Можно заметить, что существует тесная связь, между множествами и высказываниями, между операциями над множествами и логическими опе рациями. Пусть мы имеем несколько высказываний. Образуем множество всех логических возможностей для рассматриваемых высказываний и на зовем его универсальным множеством. Поставим каждому высказыванию в соответствие подмножество тех логических возможностей универсального множества, для которых это высказывание истинно - его множество истин

ности. Очевидно, что множествами истинности высказываний P&Q, P  Q,  P будут, соответственно, множества PQ, PQ, P, где P, Q– множества

истинности высказываний P, Q.

Пусть булева функция f(x1,...,xn ) представима термом, содержащим только логические символы &, ,  . Обозначим через f (x) формулу теории множеств, полученную из терма f подстановками вместо переменных x1,..., xn формул x  A1,..., x  An , соответственно. Обозначим через Zf выражение, полученное из терма для f(x1,..., xn) заменой переменных x1,...,xn символами Z1,...,Zn, и символов &, ,  символами , , , соответственно. При интерпретации Zf символы Zi будут обозначать подмножества универсума U (множества, содержащего в качестве подмножеств все другие множества).
Упражнение

1. Доказать, пользуясь кругами Эйлера, что высказывание P & Q  Q

является тавтологией.

2. Используя истинностные таблицы соответствующих высказываний, проверить следующее свойство множеств: A(BC) = (AB)( AC).



  1. Отношения – это множества, элементами которых являются упорядочен

ные пары (для бинарных отношений), тройки и т.д. Установить следую щие свойства отношений:

3.1. Для формул исчисления высказываний: если A  B и B С, то AC.



    1. Отношение логического следования не является симметричным:

если A  B, то не (B  A).

    1. Отношение “x делит y” (обозначается “x  y”) антисимметрично:

если x  y, то не(y  x).

    1. Если прямая L параллельна прямой L’ и прямая L’ параллельна

прямой L”, то прямая L параллельна прямой L”.

    1. Доказать,что симметричное и транзитивное отношение рефлексивно


1.3. Аксиоматическая система в исчислении высказываний
А к с и о м а м и1) (классического) исчисления высказываний объявляем тавтологии из теоремы 2. В качестве единственного п р а в и л а в ы в о д а принимаем процедуру перехода от двух формул вида A, A  B (посылок) к формуле B (заключению):

(modus ponens)

(Требования, которым должны удовлетворять правила вывода, – из истинных посылок должны получаться истинные заключения.)

Д о к а з а т е л ь с т в о м ф о р м у л ы Ф (т е о р е м ы) называют конечный список формул B1,...,Bl, заканчивающийся формулой Ф (Ф = Bl), где каждая формула Bi (i=1,...,l) есть аксиома или получена из предыдущих формул по одному из правил вывода (обозначается Ф).

Пример 1 (Доказательство теоремы).

AA :


1. A(AA) (аксиома 1а )

2. A((AA) A) (аксиома 1а)

3. (A(AA))((A((AA)A))(AA)) (аксиома 1б)

4. (A((AA)A))(AA) (modus ponens, 2,3)

5. AA (modus ponens, 1,4)
В ы в о д о м ф о р м у л ы Ф и з г и п о т е з A1, ..., Am (m  1) называют конечный список формул B1,...,Bl, заканчивающийся формулой Ф (Ф = Bl), где каждая формула Bi (i=1,...,l) есть аксиома или одна из гипотез A1,... ,Am,

или получена из предыдущих формул по правилу вывода ( A1,... ,Am Ф).


Пример 2 (Вывод формулы из гипотез). A&BC, A BC:

1. A&BC (гипотеза)

2. (BA&B)  ((B(A&BC)) (BC)) (аксиома 1б)

3. (A&BC) (B(A&BC)) (аксиома 1а)

4. B(A&BC) (modus ponens,1,3)

5. A (гипотеза)

6. A (BA&B) (аксиома 2)

7. BA&B (modus ponens,5,6)

8. (B(A&BC)) (BC) (modus ponens,7,2)

9. BC (modus ponens,4,8)


ТЕОРЕМА 9 (Cвойства вывода)

1. A1,...,Am i (i=)

 1,...,Am j (j=) и B1,...,Bk C  A1,...,Am C


  1. A1,... ,Ai, ..., Aj, ..., Am B  A1,...,Aj, ..., Ai, ..., Am B.

  2. A1, ..., Am B  A1, ..., Am , Am+1B.


Каталог: sites -> default -> files -> textdocsfiles -> 2013
2013 -> Имени н. Г. Чернышевского
2013 -> В. Д. Шадриков “ 05 ” апреля 2000 г. Номер государственной регистрации
2013 -> Сборник научных трудов Саратов 2011
2013 -> Физической культуры на формирование картины мира
2013 -> Сборник научных трудов Саратов 2012
2013 -> Рабочая программа дисциплины (модуля) Политическая психология Направление подготовки 030200 «Политология»
2013 -> Сборник научных статей иц «Наука» 2010 (082) ббк 74. 58 я43 П18
2013 -> Самостоятельная работа студентов в условиях перехода на двухуровневую систему впо материалы докладов
2013 -> Профессиональный компонент срс в обучении английскому языку: проверка обратной связи
2013 -> Образовательная программа для получения дополнительной квалификации «Юридический психолог»


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7




База данных защищена авторским правом ©dogmon.org 2022
обратиться к администрации

    Главная страница