Тема 5.2. Свойства нормального распределения

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние зна­чения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близ­кие к средней величине - достаточно часто. Нормальным такое распре­деление называется потому, что оно очень часто встречалось в естест­веннонаучных исследованиях и казалось "нормой" всякого массового случайного проявления признаков. Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. в Англии, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции. График нормального распределения представляет собой привычную глазу психолога-исследователя так называемую колоколообразную кривую.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности:

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Можно легко показать, что параметры  и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, так как при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4) Экстремум функции.

Так как при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный, как правило трех сигм. Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

То есть вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Это правило называется законом трех сигм.

Если объем выборки меньше или равен 15, то не нужно использовать параметрические критерии. Если количество измерений больше 15, но меньше 50, то следует приме­нять двойной составной критерий. Для выборок объемом боль­ше 50 рекомендован критерий двойной составной критерий

Двойной составной критерий предназначен для сопоставления двух распределений — эмпирического и нормального. Если эмпирическое распределение удовлетворяет двойному составному критерию, то с вероятностью 0,98 можно считать, что к полученным данным применима нормальная модель распределения.

Пример. Участники однодневного тренинга «Уверенное поведение» оценивали у себя уровень личностной тревожности. Первое измерение проводилось в день тренинга, второе — на следующий после тренинга день. Все изменения оценивались по 10-балльной шкале. Данные представлены в таблице 3. Вопрос: Можно ли утверждать, что полученные эмпирические данные подчиняются закону нормального распределения?

Таблица 3

При втором сравнении необходимо из статистических таблиц взять коэффициент z, соответствующий объему выборки. Далее необ­ходимо рассчитать дисперсию D и найти стандартное отклоне­ние SD, а затем расчетное отклонение s = SD • z. Потом следует сосчитать количество m_{эмп .}случаев, когда │х_i - Mx│оказался больше s.

По статистическим таблицам необходимо найти m_кр, и если m_{эмп .}мень­ше m_кр., то можно считать распределение эмпирических данных нормальным, в противном случае — нельзя.

До начала тренинга «Уверенное поведение» проведем рас­четы для его участников.

Сформулируем гипотезы:

Нулевая гипотеза (Н₀) — распределение эмпирической случайной величины дан­ных, измеренных до проведения тренинга, отличается от нор­мального закона распределения;

Альтернативная гипотеза (Н₁) — распределение эмпирической случайной величины под­чиняется нормальному закону распределения.

Первое условие

Проведем первое сравнение. Для этого необходимо рассчитать d_эмп. Сначала найдем

Заполним первый столбец таблицы 3,

Просуммируем содержание столбца 1:

Поделим ее на п — 1 = 17 — 1 = 16. Получим D = 1,12.

Возьмем квадратный корень из D:


Пользуясь формулой d_эмп. рассчитываем

и получаем d_эмп. = 0,9.

С помощью статистических таблиц определим d₁ и d₂ соот­ветствующие объему выборки. Если d_эмп> d_2, а d_эмп> d₁ то мож­но переходить ко второму сравнению.

d₂= 0,6829, d₁ = 0,9137. 0,9 > 0,6829 и 0,9 < 0,9137. Значит, d_эмп удовлетворяет первому условию.

Второе условие

Найдем z из статистических таблиц для объема выборки п = 17

z = 2,58.

Рассчитаем вспомогательное значение s, воспользовавшись рассчитанным стандартным отклонением SD, s=SD · z:

Заполним третий столбец таблицы для расчета SD. Если значение в столб­це 1 будет больше рассчитанного s = 1,92, то пишем 1, если нет, то 0. Считаем сумму m_эмп ячеек столбца 3: m_эмп =0

По статистической таблице находим m_кр: m_кр=1

Сравниваем m_кр и m_эмп: m_кр > m_эмп.

Значит, второе условие выполняется, а следовательно, при­нимается гипотеза Н₁.

Ответ: Принимается гипотеза Н₁. Данные учащихся до исследо­вания можно считать распределенными по нормальному закону. Более подробно с двойным составным критерием можно ознакомиться, используя дополнительную литературу [2].

Раздел 6. Понятие норм и стандартов в психологии
Тема 6.1. Виды стандартных шкал в психологии

Показатели психометрических тестов, применяемых в практической психологии с целью постановки психологического диагноза переводятся из первичных ("сырых" - не подвергнутых обработке) и полученных испытуемым по данному тесту в стандартные показатели, которые рассчитываются на основе линейного или нелинейного преобразования первичных показателей (при условии их распределения близкого к нормальному закону). При этом исторически сложилось наличие ряда наиболее распостраненных стандартных показателей, связанных с особенностями преобразования. К наиболее известным и используемым стандартным шкалам относятся:

1.Шкала стенов или с-показателей (от англ. standart ten), созданная Кеттелом и используемая в опроснике 16 PF. M = 5,5; σ = 2; с принадлежит интервалу от 1 до 10.

2.Шкала станайнов (от англ. standart nine), созданная Гилфордом M = 5; σ = 2; с принадлежит интервалу от 1 до 9.

3. Шкала IQ-показателей Векслера. M = 100; σ = 15; IQ принадлежит интервалу от 40 до 160.

4. Z-шкала Амтхауэра M = 100; σ = 10; Z принадлежит интервалу от 60 до 140.

5. Т шкала Маккола. M = 50; σ = 10; Т принадлежит интервалу от 10 до 90.

Другие виды стандартных шкал представлены на рис. 9. О них можно прочитать в основной литературе [3].

Переход от исходной шкалы в которой представлены психологические показатели к стандартной осуществляется с помощью Z-шкалы.

Z-шкала образуется в результате центрирования,понимаемого как линейная трансформация величин признака,при которой средняя величина распределения становится равная нулю и процедуры нормирования посредством среднеквадратических отклонений.

Z-шкала состоит из неприрывного континиума Z-показателей, определяемых в виде разности между индивидуальными первичными результатами и средним значением для генеральной совокупности,деленные на стандартное отклонение распределения:

При этом полученная Z- шкала будет иметь среднюю точку М=0 и единицу измерения (масштаб) 16 стандартного (единичного) нормального распределения как показано на рис.9.

Z-показатель может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Большинство случаев (99,72 %) значения Z-показателей умещается в пределах -3 < М > +3 и могут принимать любые значения. К достоинствам Z-показателя относится простота интерпретации и сравнения индивидуальных результатов: чем больше показатель, тем дальше от среднего (нормы) он может находиться, при этом знак указывает ( + ) - выше среднего; ( - ) – ниже среднего. Но недостатки, особенно в области прикладной (практической) психологии, к которым относят: сложность интерпретации для испытуемого (клиента),крупность масштаба единиц измерения, оперирование отрицательными и положительными величинами, побудили разработчиков тестов использовать нормализованные преобразования по формуле:

Zp = А + b Z ,

где Zp -преобразованный стандартный показатель; b - стандартное отклонение преобразованного распределения - Z-показатель; А - среднее значение преобразованного распределения. Такой переход правомерен, так как стандартная шкала представляет собой интервальную шкалу, что позволяет выполнять линейные преобразования, при условии что константы b и А – действительные числа.

Основная задача индуктивной статистики, или теории статистического вывода связана с выявлением различий между показателями двух или нескольких распределений.

Выявление существенных различий позволит объяснить их действием независимой переменной, или фактора, а не случайностью, связанной с малым объемом выборки.

Основным инструментом индуктивной статистики является метод проверки статистических гипотез.

Принцип метода состоит в том, что выдвигается нулевая гипотеза H₀ с тем, чтобы доказать или опровергнуть ее и тем самым подтвердить альтернативную гипотезу (H₁).

Нулевая гипотеза - это гипотеза об отсутствии различий. Она обозначается как H₀ и называется нулевой потому, что содержит число 0: X₁- Х₂=0, где X₁, X₂ - сопоставляемые значения признаков.

Нулевая гипотеза - это то, что мы хотим опровергнуть, если перед нами стоит задача доказать значимость различий.

H₁: X₁ превышает Х₂

Н₁: Х₁ отличается от Х₂

Построим схему - классификацию статистических гипотез.

Рис. 9 Виды статистических гипотез

Проверка статистической гипотезы осуществляется с помощью статистического критерия в соответствии с определенным алгоритмом.

Критерии делятся на параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии – критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения, то есть средние и дисперсии (t – критерий Стьюдента, критерий F Фишера и др.)

Непараметрические критерии - критерии, не включающие в формулу расчета параметров распределения и основанные на оперировании частотами или рангами (критерий Q-Розенбаума, Т-критерий Вилкоксона и др.). И те, и другие критерии имеют свои преимущества и недостатки. На основании нескольких руководств можно составить таблицу, позво­ляющую оценить возможности и ограничения тех и других.

Таблица 4

Мы видим, что параметрические критерии могут оказаться несколько более мощными, чем непараметрические, но только в том случае, если признак измерен по интервальной шкале и нормально распределен. С интервальной шкалой есть определенные проблемы. Лишь с некоторой натяжкой мы можем считать данные, представленные не в стандартизованных оценках, как интервальные. Кроме того, проверка распределения "на нормальность" требует достаточно сложных расчетов, результат кото­рых заранее неизвестен. Может оказаться, что распределение признака отличается от нормального, и нам так или иначе все равно придется обратиться к непараметрическим критериям.

Непараметрические критерии лишены всех этих ограничений и не требуют таких длительных и сложных расчетов. По сравнению с параметрическими критериями они ограничены лишь в одном - с их помощью невозможно оценить взаимодействие двух или более условий или факторов, влияющих на изменение признака. Эту задачу может решить только дисперсионный двухфакторный анализ.
Тема 7.2. Параметрические критерии

t-критерий Стьюдента

t-критерий Стьюдента является одним из самых мощных и часто используется при анализе результатов исследования. Для t-критерия должны быть соблюдены три условия: шкала измерения не ниже интервальной, нормальное распределение данных и одинаковая дисперсия выборок.

t-критерий Стьюдента существует в нескольких модификациях: для связанной выборки, для несвязанной выборки и для определения значимости различия вероятностей появления событий. Рассмотрим все три модификации.

Рассмотрим t-критерий Стьюдента для связанных выборок

t-критерий для связанных выборок, или, иначе говоря, для зависимых измерений, используется для определения вероятности того, что наблюдаемое различие между двумя условиями для одних и тех же участников обусловлено случаем

Вернемся к примеру в Теме 5.3. и продолжим его анализ. Как было выяснено в ходе расчетов выше, полученные в примере А данные имеют нормальное распределение и выборочные дисперсии значимо не отличаются. Если уже известно, что распределение данных и до и после одинаково и является нормальным, а дис­персии выборок не отличаются, то для поиска различий воз­можно использование t-критерия Стьюдента.

Сформулируем гипотезы:

Для наглядности скопируем таблицу 3, добавив к ней 2 столб­ца для проведения расчетов.

Сосчитаем разность между X_до и Х_после и занесем в таблицу 5 (δ= (X_до - Х_после) найдем сумму δ. Возведем δ в квадрат, запишем в таблицу 5 и найдем сумму δ ².

Таблица 5

Затем находим среднюю разность , стандартное отклонение , рассчитываем определяем размерность системы df = n-1 = 16 Найдем по стандартным таблицам эмпирическое значение критерия t_эмп(1,85) ≤t_0,05(2,12)

На основании анализа расчетов можно заключить, что ре­зультаты участников тренинга относятся к одной генеральной совокупности, а значит, влияние тренинга на изменение лич­ностной тревожности незначительное.

где стандартное отклонение.

Более подробно с критерием можно познакомиться, используя дополнительную литературу [2].

F - критерий Фишера

F-критерий Фишера используют для сравнения дисперсий двух вариационных рядов. Он вычисляется по формуле:

где - большая дисперсия, - меньшая дисперсия.

Если вычисленное значение критерия F больше критического для определенного уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы для числителя и знаменателя, то дисперсии считаются различными.

Число степеней свободы числителя определяется по формуле:

где число вариант для большей дисперсии.

Число степеней свободы знаменателя определяется по формуле:

где - число вариант для меньшей дисперсии.

F-критерий Фишера направлен на определение равенства дисперсий двух выборок. Данный критерий может служить пер­вичным способом выявления различий в показателях двух вы­борок и применяется для получения предварительного ответа на вопрос: принадлежат ли обе выборки одной генеральной совокупности? Этот критерий проверяет равенство в двух вы­борках одного параметра нормального распределения — диспер­сии. Второй параметр проверяет t-критерий Стьюдента.

Если критерий Фишера указывает на то, что дисперсии двух выборок различаются, это основание полагать, что различия между выборками значимы.

Сравнение двух выборочных дисперсий осуществляется сле­дующим образом. Вычисляется эмпирическое дисперсионное от­ношение.

где D₁ и D₂ всегда выбираются таким образом, что объем выборки с D₁ >D₂ п₁ — объем выборки с D₁,а п₂ — объем выборки с D₂.

Далее по стандартным таблицам определяется F _ст для проверяется условие F_эмп≤F_0,05 - в этом случае дисперсии различаются лишь случайным образом (гипотеза о равенстве дисперсий подтверждается). Если F_эмп≤F_ст то различия не случайны (гипотеза о значимом различии дисперсий подтверждается).

Продолжим рассмотрение примера.

Значимо ли различие дисперсии данных у участников до и после тренинга?

Сформулируем гипотезы:

Ранее мы уже рассматривали этот пример и с помощью двой­ного составного критерия определили, что распределение по­казателей может считаться нормальным. Также нами были вычислены дисперсии результатов до и после тренинга: D_до=1,12, D_после=2,12. n₁ = n₂ = 17;

В статистической таблице находим статистическое значение критерия: F_0,05 = 2,33. F_эмп≤F_0,05 значит, гипотеза о том, что различия в дисперсиях незначительны, подтверждается.