Лекция 15. «Дифференцирование функции нескольких переменных»

1. 
   Градиент функции двух переменных и производная по направлению.
   

называется вектор

Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:

или

или

Как видно из определения градиента функции, компонентами вектора градиента являются частные производные функции.

в точке A(2,3).

В общем виде градиент функции имеет вид:

Подставим координаты точки A(2,3) в выражения частных производных

В градиент функции в точке A(2,3) имеет вид:

Аналогично можно определить понятие градиента функции трех переменных:

называется вектор

Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:

Пусть задана функция двух переменных

и произвольный вектор

Рассмотрим приращение этой функции, взятое вдоль данного вектора

Т.е. вектор коллинеарный по отношению к вектору . Длина приращения аргумента

Производной по некоторому направлению называется предел отношения приращения функции вдоль данного направления на длину приращения аргумента, когда длина приращения аргумента стремиться к 0.