Методические указания к выполнению лабораторной работе «Построение регрессионных моделей»



Скачать 298.5 Kb.
Дата21.05.2016
Размер298.5 Kb.
ТипМетодические указания
Методические указания к выполнению лабораторной работе

«Построение регрессионных моделей»

по курсам «Планирование эксперимента»

для студентов специальности АСОИ иУ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение основных понятий, определений, принципов теории планирования экспериментов, приобретение навыков проведения экспериментов по построению математических моделей, ознакомление с методикой построения регрессионных моделей.



Основные понятия

Эксперимент – метод научного исследования, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на объект исследования путем создания искусственных условий или использования естественных условий, необходимых для выявления конкретных свойств объекта.

Эксперименты делятся на пассивные и активные (управляемые). В пассивном эксперименте контролируемые (входные) параметры нельзя изменять, в активном – можно.

Планирование эксперимента – область знания, связанная с построением и оптимизацией математических моделей.

Объект исследования рассматривается как носитель некоторых неизвестных или подлежащих исследованию свойств и качеств – своеобразный «черный ящик». При этом вектор Х1…Хk представляет собой группу контролируемых и управляемых величин, которые могут изменяться определенным образом в ходе эксперимента, а Z1…Zk контролируемые характеристики. Характеристики (Х1…Хk) также называют факторами или управляемыми воздействиями. Функция Y – функция отклика (поверхность отклика), представляет собой реакцию системы на воздействие факторов. Также можно выделить и третью, не обозначенную на идеальной модели систему входных сигналов – это шумы или помехи, которые обусловлены многими факторами: ошибками обслуживающего персонала, влиянием внешней среды, погрешностью приборов и т.д. К этой же группе относятся воздействия, которые не могут контролироваться либо из-за их сложности, либо из-за незнания их природы и невозможности контроля.

Характеристики объектов имеют различную физическую природу, а, следовательно, и размерность, что затрудняет построения модели. Поэтому на практике значения факторов, которые имеют реальный физический смысл, нормируют (приводят к определенному ранее заданному набору значений). Для любого фактора Х существует нижний Хmin и верхний Xmax уровни изменения значений.



Объект



Структурная схема объекта (процесса)
при проведении активного эксперимента

Факторное пространство
Приведем алгоритм нормировки фактора:

  • выбираем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы Хmin соответствовало –1, а Xmax +1.

  • вычисляем значение Х0 для данного фактора следующим образом .

  • вычисляем интервал изменения фактора dxi = X0 – Xi min = Xi max - Xi 0.

  • находим нормированное значение Хн для каждого фактора .

Зависимость реакции объекта от точки факторного пространства называется функцией отклика Y, а ее геометрическое представление Y(x1, x2,…, xi) – поверхностью отклика. Векторов значений функции отклика может быть столько, сколько опытов.
Проведение эксперимента
Э
ксперимент состоит из опытов (воспроизведение исследуемого явления). Под планированием эксперимента понимают выбор плана эксперимента – совокупности данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Каждый опыт эксперимента характеризуется определенным набором значений факторов.

Вектор, содержащий некоторый набор конкретных значений факторов ХI, определяет q-ю точку плана эксперимента. Совокупность векторов Хq (q = 1, 2, …, n) образует план эксперимента (матрица, содержащая k строк и n столбцов, каждая строка которой образует точку плана эксперимента, а столбец фактор эксперимента).




Х11

Х21

Х31



ХN1

Х12

Х22

Х32



ХN2











Х

Х

Х



ХNK

Совокупность всех точек плана, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора (различных строк матрицы планирования), называется спектром плана. Матрица, получаемая из всех различных строк плана - матрица спектра плана. Она отличается от приведенной выше матрицы только числом строк (из-за отсутствия повторяющихся точек плана). При количестве точек спектра плана G, ее размерность будет составлять: G строк на N столбцов. Применяется также матрица дублирования, размерность которой совпадает с размерностью матрицы спектра плана. Она имеет вид:

К1

0

0



0

0

К2

0



0











0

0

0



Кg

Здесь Кj - число параллельных опытов в точке спектра плана с номером j (j = 1, 2, …, N). Т.е. это число характеризует дублирование соответствующей строки в матрице спектра плана.
Построение регрессионных моделей
Для описания объектов управления часто используются полиномиальные модели. При этом в качестве базисного выражения используется ряд Тейлора, имеющий конечное число членов.

Но при использовании аппроксимирующего полинома Тейлора в приведенном выше виде возникает ряд проблем, связанных с нахождением производных, так как неизвестна функция, а известен только ряд ее значений. Поэтому заменим полином Тейлора на аналогичное ему уравнение регрессии



где k – число столбцов в матрице планирования. Построим линейную регрессионную модель. Для ее экспериментального получения используем план первого порядка (факторный эксперимент первого порядка).



.

Для k-факторного эксперимента достаточно k+1 опытов. При определении коэффициентов регрессии должны выполняться необходимые и достаточные условия:



  1. Результаты измерений выходной величины Y в N точках факторного пространства – нормально распределенные величины.

  2. Дисперсии реализации во всех точках факторного пространства одинаковы, то есть не зависят от абсолютного значения величины и от направления обхода факторного пространства.

  3. Входные переменные (факторы) – это независимые величины, которые измеряются с бесконечно малой ошибкой по отношению к ошибке выходной величины.

Оценка выполняется по критерию Фишера.

Любой многофакторный эксперимент является результатом варьирования всех факторов.


Полный факторный эксперимент
Если в многофакторном эксперименте использованы все возможные комбинации уровней факторов, то такой эксперимент называется полным факторным экспериментом. Приведем таблицу (для линейного уравнения регрессии):


Количество факторов

к

Количество неизвестных коэффициентов

Количество опытов в полном факторном эксперименте

Достаточное количество для определения коэффициентов

3

4

8

23-1

4

5

16

24-1

5

6

32

25-2

6

7

64

26-3

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) включает в себя 2k опытов, которые при построении линейной модели могут полностью не использоваться. В общем случае ПФЭ позволяет найти 2k коэффициентов регрессии при 2k базисных функциях. Первые k+1 базисные функции очевидны – они составляют линейную модель (f0=1 f1=X1 f2=X2 f3=X3).



Приведем пример полного трехфакторного эксперимента (столбцы с первого по четвертый – первый столбец вводится искусственным путем и постоянен и равен 1). Эта матрица является матрицей базисных функций.





Х0

Х1

Х2

Х3

Х1Х2

Х1Х3

Х2Х3

Х1Х2Х3

1

+1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-1

2

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

3

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

4

+1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

-1

5

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

6

+1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

7

+1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

8

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1


Свойства полного факторного эксперимента

М
атрица планирования ПФЭ обладает рядом свойств:



  1. симметричность плана относительно центра эксперимента –

то есть сумма значений уровней любого фактора (столбца) равна 0 ;



  1. нормировка плана –

,

сумма квадратов значений уровней любого фактора равна N (числу строк матрицы планирования ПФЭ);



  1. ортогональность плана –

,

сумма по парных произведений значений уровней любых 2 факторов (кроме j=u) равна 0;



  1. рототабельность плана – точность предсказания значений функции отклика одинакова на равном расстоянии от центра и не зависит от направления обхода.

Свойства ортогональности и рототабельности взаимоисключающие.


Дробный факторный эксперимент
В некоторых случаях нет необходимости использовать полный факторный эксперимент. В таких случаях усекают количество строк матрицы ПФЭ до количества коэффициентов регрессионной модели. Это производится в случаях линейной регрессионной модели. Дробный факторный эксперимент удовлетворяет всем свойствам полного факторного эксперимента.
Определение коэффициентов уравнения регрессии
После проведения опытов во всех точках факторного пространства необходимо найти коэффициенты уравнения регрессии. Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов.

;

, поскольку ,

то после дифференцирования получим




Для линейной регрессии при k=2:

;
продифференцировав по коэффициентам, получим:

Запишем уравнения в полной форме:


Отсюда, принимая в расчет свойства матрицы планирования, получим следующие формулы для вычисления коэффициентов




ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

  1. Используя программу генерации случайных чисел провести трехфакторный эксперимент в восьми точках (то есть сформировать три столбца и восемь строк в матрице планирования – заполнить ее случайным образом). Желательно взять ограничение до 20 при генерации случайных чисел, но учесть возможность его изменения по требованию преподавателя.

  2. Определить значения нулевых уровней факторов, выполнить нормировку факторов.

  3. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0=1).

  4. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.

  5. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ, повторив 5 раз опыты в выбранных точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 в соответствии с вариантом, выданным преподавателем).

  6. Найти коэффициенты уравнения регрессии.

  7. Проверить свойства полного факторного эксперимента: симметричность, нормировку, ортогональность и рототабельность.

  8. Составить уравнение регрессии в кодированном виде, привести его к натуральному, используя значение интервалов варьирования.


ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

      1. Используя генератор случайных чисел, найти значения факторов в точках, а также функцию отклика. Определить нулевой уровень фактора, провести нормировку.

      2. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0=1), и заполнить таблицу кодированными значениями Х1, Х2 и Х3.







Х0

Х1

Х2

Х3

Х1Х2

Х1Х3

Х2Х3

Х1Х2Х3

Y1,j

Y2,j

Y3,j

Yj

1





































2





































3





































4





































5





































6





































7





































8








































      1. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.

      2. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ (найти значения функции отклика Y). Для каждой точки плана провести по три эксперимента, значения функции отклика брать из таблицы 1 в соответствии с вариантом.

      3. Получаем коэффициенты регрессии после упрощения системы уравнений b0, b1 , b2 , b3.

      4. Уравнение регрессии будет иметь вид

Y = b0 X0 + b1 X1 + b2 X2 –+b3 X3 ; (Х0 =1).

      1. Полученное в кодированном виде уравнение регрессии преобразовать в натуральный, используя значения интервалов варьирования.

Вариант 1



3,004

3,031

3,035

3,039

3,001

5,193

5,152

5,177

5,209

5,151

3,927

3,950

3,936

3,898

3,897

7,141

7,099

7,111

7,138

7,097

Вариант 2

3,651

3,605

3,653

3,592

3,627

6,547

6,514

6,535

6,562

6,581

4,761

4,793

4,816

4,792

4,801

9,515

9,566

9,534

9,552

9,528

Вариант 3

2,124

2,150

2,139

2,140

2,157

3,382

3,394

3,368

3,374

3,372

2,705

2,652

2,655

2,674

2,713

4,307

4,242

4,276

4,317

4,255

Вариант 4

2,588

2,597

2,542

2,537

2,539

4,191

4,165

4,152

4,129

4,138

3,201

3,231

3,202

3,199

3,248

5,509

5,453

5,448

5,511

5,445

Вариант 5

3,072

3,028

3,080

3,049

3,069

5,193

5,159

5,163

5,220

5,168

3,932

3,955

3,893

3,915

3,939

7,094

7,126

7,149

7,102

7,158

Вариант 6

4,292

4,285

4,333

4,304

4,277

8,385

8,390

8,404

8,421

8,390

5,881

5,886

5,847

5,900

5,909

13,349

13,332

13,357

13,342

13,356

Вариант 7

4,307

4,284

4,284

4,316

4,286

8,387

8,396

8,430

8,389

8,404

5,832

5,873

5,856

5,843

5,862

13,329

13,304

13,328

13,340

13,312

Вариант 8

3,583

3,605

3,623

3,623

3,587

6,555

6,564

6,523

6,559

6,511

4,795

4,790

4,776

4,798

4,744

9,504

9,530

9,524

9,557

9,530

Вариант 9

3,054

3,032

3,024

3,046

3,019

5,147

5,170

5,178

5,190

5,177

3,926

3,895

3,937

3,931

3,915

7,117

7,121

7,101

7,130

7,091

Вариант 10

2,549

2,537

2,563

2,564

2,569

4,118

4,164

4,155

4,126

4,151

3,236

3,220

3,202

3,212

3,207

5,445

5,485

5,449

5,472

5,455

Вариант 11

2,164

2,165

2,145

2,150

2,163

3,347

3,338

3,322

3,318

3,358

3,950

3,932

3,908

3,935

3,901

6,855

6,870

6,875

6,872

6,907

Вариант 12



2,788

2,823

2,815

2,777

2,773

4,491

4,467

4,492

4,473

4,460

3,485

3,510

3,515

3,524

3,475

5,883

5,879

5,863

5,870

5,877

 Вариант 13

2,132

2,114

2,160

2,146

2,120

3,373

3,324

3,377

3,327

3,385

3,978

3,928

3,905

3,948

3,904

6,898

6,908

6,887

6,940

6,904

Вариант 14

2,567

2,587

2,585

2,527

2,583

4,148

4,183

4,155

4,144

4,169

4,998

4,949

4,950

4,947

4,968

9,758

9,689

9,701

9,711

9,686

Вариант 15

3,073

3,033

3,062

3,065

3,029

5,191

5,186

5,221

5,156

5,198

3,884

3,932

3,929

3,914

3,899

14,701

14,690

14,734

14,754

14,674

Вариант 16

8,346

8,241

8,242

8,247

8,244

17,731

17,736

17,781

17,709

17,863

14,306

14,165

14,262

14,254

14,173

22,574

22,715

22,599

22,579

22,569

Вариант 17

8,439

7,904

8,440

8,473

7,916

10,523

10,650

10,778

10,273

10,631

9,401

9,168

9,534

9,249

9,306

14,120

14,376

14,486

14,175

13,952

Вариант 18

7,939

7,903

7,980

7,619

7,750

12,365

12,356

12,004

12,037

12,409

14,245

14,808

14,494

14,786

14,449

26,177

26,630

26,707

26,237

26,481

  Вариант 19

3,759

3,709

3,745

3,768

3,740

4,828

4,801

4,845

4,845

4,845

4,243

4,253

4,242

4,300

4,275

6,612

6,613

6,563

6,598

6,575

Вариант 20

2,872

2,904

2,841

2,888

2,896

4,125

4,147

4,105

4,153

4,152

3,810

3,779

3,755

3,803

3,759

4,532

4,477

4,472

4,505

4,513

Вариант 21

1,612

1,370

1,569

1,655

2,037

2,440

2,019

2,027

2,398

2,223

2,067

1,893

2,378

2,152

2,040

2,444

2,476

2,761

2,346

2,312

Вариант 22

8,952

8,889

9,235

9,122

9,222

12,258

12,452

12,044

12,152

12,392

10,323

10,376

10,268

10,647

10,452

14,357

14,050

14,109

14,339

14,421



СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

  1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта);

  2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных);

  3. Основные теоретические положения (используемые формулы);

  4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы);

  5. Листинг программы (язык программирования не имеет значения);

  6. Ответы на контрольные вопросы;

  7. Результат выполнения работы;

  8. Выводы по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Что называется экспериментом?

  2. Какие бывают эксперименты?

  3. Что называется планированием эксперимента?

  4. Что образует план эксперимента?

  5. Что называется спектром плана?

  6. Чем характеризуется объект исследования? Дайте определение факторному пространству.

  7. Что такое регрессионные полиномы и где они применяются?

  8. Перечислите условия, необходимые для определения коэффициентов регрессии.

  9. Что называется полным факторным экспериментом?


ЛИТЕРАТУРА

  1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

  2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для втузов. М.: Радио и связь, 1983.

  3. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.

  4. Планирование и организация измерительного эксперимента / Е.Т. Володаpский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз.-К.: В.ш. Головное изд-во, 1987.

Каталог: 2009
2009 -> Лидер как социальный тип: понятие и личностные особенности в западной исследовательской традиции
2009 -> «утверждено»
2009 -> Социальные последствия учебной иммиграции в россию
2009 -> Психологическая профессиональная адаптация личности
2009 -> На правах рукописи
2009 -> Программа дисциплины «Рефлексия личности»
2009 -> А. В. Селиванова Одна из проблем экологического образования формирование ценного отношения к природе. Экологические блоки, которые включаются в специальные дисциплины, оказывают большее коррекционное влияние на разв
2009 -> Психология индивидуальности
2009 -> Эмоционального выгорания у врачей стоматологов 19. 00. 04 "Медицинская психология"
2009 -> Современная гуманитарная академия, Москва


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©dogmon.org 2019
обратиться к администрации

    Главная страница